강의 내용

Chapter 1. Vector

1.1 Scalar & Vector

□ Scalar : 물리량의 크기만을 나타낸다.

길이, 시간, 질량, 온도, 전기량, 전압…

□ Vector : 물리량의 크기와 방향을 나타낸다.

힘, 속도, 가속도, 변위…

□ Field : 주어진 영역에서 물리적인 양을 위치 변수와 시간에 의해 수학적으로 표현한

것을 의미한다.

scalar field :

[eqn: T(x,y,z,t) = 10 e^-2t y·cos 4 x]

vector field :

[eqn: □(x,y,z,t) = 10-2 · sin ( □x over a ) a_x]

1.2 Vector 대수

Vector의 가법(加法)은 평행사변형의 법칙에 따르며, 교환법칙과 결합법칙이 성립

□ 평행사변형 법칙

[eqn: A + B]

□ 교환법칙

[eqn: A+B = B+A]

□ 결합법칙

[eqn: A+(B+C) = (A+B)+C]

□ vector의 감법(減法) 역시 평행사변형의 법칙이 성립한다.

[eqn: A-B = A+(-B)]

※ vector A  크기 [eqn: |A|]             방향 [eqn: vecA]

□ vector와 scalar와의 곱

m : scalar,   A : vector

m과 A의 곱  [eqn: mA ~~(Am)]

m>0,  [eqn: mA]   방향 : A의 방향

크기 : A의 m배

m<0,  [eqn: mA]  방향 : A의 반대방향

크기 : Adm m배

m=0,   [eqn: mA=0],  영 vector

1.3 직각좌표계

[eqn: x,y,z]축이라고 하는 세 개의 좌표축이 서로 직각을 이루고 있다.

1.4 벡터의 성분 및 단위벡터

x축, y축, z축으로 향하는 단위벡터를 [eqn: a_x ,~~a_y ,~~a_z]라하고 크기는 1 이다.

[eqn: A = A_x a_x +A_y a_y + A_z a_z]      [eqn: A_x ~:~ A의 ~x성분]

표기 : [eqn: P~(A_x , A_y , A_z )]

[eqn: A_x = |A| · cos alpha , ~~ A_y = |A| ·cos beta , ~~A_z = |A|·cos gamma]

[eqn: cos alpha, ~cos beta,~cos gamma]를 A의 방향여현

A의 크기    [eqn: |A| = sqrt {A_x ^2 + A_y ^2 + A_z ^2 }]

A의 단위벡터

[eqn: a_0 = A over |A| = A over sqrt{ A_x^2 + A_y^2 + A_z^2 }]

1.5 위치 vector

원점 O에서 점 A에 긍은 [eqn: vecOA]를 원점 O에 대하여      A의 위치벡터라 한다.

[eqn: vecOA = x_1 a_x +y_1 a_y +z_1 a_z = r_A]

[eqn: vecOB = x_2 a_x +y_2 a_y +z_2 a_z = r_B]

A에서 B로 향하는 위치 벡터 [eqn: vec AB]는

[eqn: vecAB = vecOB - vecOA = r_B - r_A]

[eqn: = (x_2 -x_1 ) a_x + (y_2 - y_1 )a_y + (z_2 - z_1 )a_z]

1.6 scalar product or dot product

[eqn: A□B = AB ~cos theta]

[eqn: A□B``는 □+□],                               [eqn: A□B``는 □-□]

□ 교환법칙  [eqn: A□B = B□A]

□ 분배법칙 [eqn: (A +B )□ (C+D) = A□C + A□D + B□C+B□D]

[eqn: A□A = A^2]〓A2

<정리> A, B의 이루는 각이 직각이면 A□B = 0

역으로 A□B =0 이면

(ⅰ) A, B의 이루는 각은 직각이다

(ⅱ) A, B의 어느 하나가 0 벡터이다.

□ [eqn: a_x □ a_x = a_y □ a_y = a_z □ a_z = 1]

[eqn: a_x □ a_y = a_y □ a_z = a_z □ a_x = 0]

□[eqn: A = (A_x , A_y , A_z ), ~~~B= (B_x , B_y , B_z )]

[eqn: A□B = A_x B_x + A_y B_y +A_z B_z]

A,B의 이루는 각 □

[eqn: cos theta = A□B over AB = {A_x B_x + A_y B_y +A_z B_z} over {sqrt{ A_x^2 + A_y^2 + A_z^2} □sqrt{ A_x^2 + A_y^2 + A_z^2 }}]

□ 주어진 방향의 스칼라 성분과 벡터 성분

□ scalar 성분

vector B의 [eqn: a_x]방향의 scalar

[eqn: B□ a_x = |B|~cos theta_ba = B_a]

□ vector성분

vector B와 [eqn: a_x]방향의 vector

[eqn: (B□a_x )a_x]

1.7 벡터의 곱

[eqn: A TIMES B]

(ⅰ) 크기는 평행사변형의 면적과 같고

(ⅱ) 방향은 평행사변형의 면에 수직이고, 오른 나사를 A에서 B로 돌릴 때 나사의 진행방향

[eqn: A TIMES B = |A|□|B| ~sin theta a_N]

□ 교환법칙이 성립안함   [eqn: A×B = -B×A]

□ 분배법칙

[eqn: A×(B+C) = A×B + A×C]

[eqn: (m``A) × B = A×(m``B) = m``(A×B)]

□ [eqn: A= (A_x ,A_y , A_z ), ~~~~~B = (B_x , B_y , B_z )]일 때

[eqn: A×B = DMATRIX { { a_x}& {a_y }& {a_z }# {A_x }& {A_y }& {A_z }# {B_x }& {B_y }& {B_z } }]

[eqn: = (A_y B_z - A_z B_y )A_x + (A_z B_x - A_x B_z )a_y +(A_x B_y - A_y B_x ) a_z]

A,B가 평행이면, A×B = 0 이다.

역으로 A×B = 0 이면, 다음의 2개중 하나가 성립한다

(ⅰ) A, B는 평행이다.

(ⅱ) A, B의 어느 하나가 영 벡터이다

□ 기본벡터의 벡터적

[eqn: a_x × a_x = a_y × a_y = a_z × a_z = 0]

[eqn: a_x × a_y = a_z ,~~~a_y × a_z = a_x ,~~~a_z ×a_x = a_y]

[eqn: a_y × a_x = -a_z ,~~~a_z × a_y = -a_x ,~~~a_x ×a_z = -a_y]

좌표계

1. 직각좌표계

2. 원통좌표계

단위 vector [eqn: a_z]는 Z축 방향으로 일정하다

[eqn: a_ rho ~와 ~a_ phi]는 점 P의 위치에 따라 방향이

변한다

미소체적 [eqn: d rho ~ rho d phi ~dz]

□ 좌표변환(원통 ↔ 직각)

원통(□,□,z)직각(x, y, z)

원통 → 직각

[eqn: x = □~cos phi]

[eqn: y = □~sin phi]

[eqn: z=z]

직각 → 원통

[eqn: □ = sqrt{x^2 + y^2}]

[eqn: phi = tan^-1 y over x]

[eqn: z=z]

□ 직각좌표계 → 원통좌표계

직각 : [eqn: A_r = A_x a_x +A_y a_y +A_z a_z]

원통 : [eqn: A_c = A_□ a_□ +A_□ a_□ +A_z a_z]

□ 원통좌표계 [eqn: A_□ ,~A_□ ,~A_z]성분을 구하자

[eqn: A_□ = A_r □ a_□ = (A_x a_x +A_y a_y +A_z a_z ) □ a_□]

[eqn: = A_x a_x □a_□ +A_y a_y □a_□ +A_z a_z □a_□]

[eqn: A_□ = A_r □ a_□ = (A_x a_x +A_y a_y +A_z a_z ) □ a_□]

[eqn: = A_x a_x □a_□ +A_y a_y □a_□ +A_z a_z □a_□]

[eqn: A_z = A_r □ a_z = (A_x a_x +A_y a_y +A_z a_z ) □ a_z]

[eqn: = A_x a_x □a_z +A_y a_y □a_z +A_z a_z □a_z]

Table 1.1 원통 및 직각좌표계의 단위 vector 의 scalar곱

	a□	a□	az
ax	cos□	-sin□	0
ay	sin□	cos□	0
az	0	0	1

3. 구 좌표계

미소체적  [eqn: dr ~rd□·r sin□d phi]

□ 좌표변환 (구 → 직각)

[eqn: x= r·sin theta ·cos phi]

[eqn: y= r·sin theta ·sin phi]

[eqn: z= r·cos theta]

좌표변환 (직각 → 구)

[eqn: r= sqrt {x ^2 + y ^2 + z ^2 }]

[eqn: theta = cos^-1 z over r = cos^-1 z over sqrt {x ^2 + y ^2 + z ^2 }]

[eqn: phi = tan^-1 y over x]

□ 직각 좌표계 → 구 좌표계 변환

직각 : [eqn: A_r = A_x a_x +A_y a_y +A_z a_z]

구 : [eqn: A_s = A_r a_r +A_□ a_□ +A_ phi a_ phi]

구 좌표계  [eqn: A_r ,~A-_ theta ,~A_ phi] 성분을 구하자

[eqn: A_r = A_r □ a_r = (A_x a_x +A_y a_y +A_z a_z ) □ a_r]

[eqn: = A_x a_x □a_r +A_y a_y □a_r +A_z a_z □a_r]

[eqn: A_□ = A_r □ a_□ = (A_x a_x +A_y a_y +A_z a_z ) □ a_□]

[eqn: = A_x a_x □a_□ +A_y a_y □a_□ +A_z a_z □a_□]

[eqn: A_ phi = A_r □ a_ phi = (A_x a_x +A_y a_y +A_z a_z ) □ a_ phi]

[eqn: = A_x a_x □a_ phi +A_y a_y □a_ phi +A_z a_z □a_ chi]

표. 구 및 직각 좌표게의 단위벡터들의 scalar곱

	ar	a□	a□
ax	sin□cos□	cos□cos□	-sin□
ay	sin□sin□	cos□sin□	cos□
az	cos□	-sin□	0