Chapter2. coulomb의 법칙과 전계의 세기

charles coulomb(프랑스, 기술대령):1785년 coulomb 실험법칙

□ 대전현상(electrification phenomena)

호박(그리스말 elektron)을 모피에 문지르면 마찰 전기에 의해서 전기를 띄게 된다. 양의 전기는 양 전하, 음의 전기는 음 전하라 하고 두 물질은 서로 대전(전기를 띄고있다)되었다고 한다.

□ 전하(charge):전기적 성질을 띄고있는 입자(carrier)

원자의 구조로 해석

정전기(electrostatic)

정전유도(electrostatic)

"+" 전하를 갖고 있는 물체를 가까이하면 반대쪽 물체가 □-□ 전화를 띄는 현상

2.1 coulomb 법칙

진공 또는 자유 공간 내에서 그 크기에 비하여 충분히 멀리 떨어져 있는 두 개의 작은 물체 사이에 작용하는 힘은 각각의 물체가 가지고 있는 전하량의 곱에 비례하고 거리의 제곱에 반비례한다.

:진공의 유전률

[eqn: F = K· {Q_1· Q_2} over R^2 [N]]

[eqn: K = 1 over {4pi epsilon _0}]

[eqn: epsilon_0]= 진공의 유전률 [F/m]

=>  [eqn: epsilon_0]= 8.854*10-12 = 1/36[eqn: pi] *10-9 [F/m]

Q1,Q2 동부호: 반발력

Q1,Q2 역부호: 흡인력

1[N]: 1kg · 1m/s2

1[C]: 6.2 · 1018개의 전자가 갖는 전하량 전자의 전하량 : 1.602 · 1019 [c]

coulomb 법칙의 vector 표시

[eqn: F_2 = {Q_1 □Q_2 } over {4□ epsilon _0 □ R_12 } a_12 ~~[N]]

[eqn: R_12 = r_2 - r_1, ~~~R_12 = |R_12 |]

[eqn: a_12 = R_12 over {|R_12 |}]

2.2 전계의 세기

[eqn: F = {Q_1· Q_2} over 4piepsilon_0·R_1t^2 a_1t [N]]

Qt의 단위 전화당 작용하는 힘은

[eqn: F over Q_t = {Q_1} over {4piepsilon_0 ·R_1t^2} a_1t [N]]

이 힘은 Qt에 작용하는 힘의 세기와 같다.

이것을 전계의 세기(electric field intensity)라 한다.

+Q[c]의 전하로부터 R[m] 떨어진 점P에서 전계의 세기E는?

[eqn: E = Q over {4pi epsilon_0· R^2} ·a_R [V/m]]

[eqn: R = (x,y,z)]

[eqn: a_R = R over R = (x,y,z) over root{x^2 + y^2 + z^2}]

cf)  [eqn: F = Q ·E]

2.3 연속적인 체적 전하 분포에 의한 전계

미소 체적소  [eqn: DELTA v]내에 체적 전하 밀도가 있다면 미소 전하량  [eqn: rho_v]는

미소 전하량 [eqn: DELTA Q]는

[eqn: DELTA Q = rho _v· DELTA v]

총 전하량   [eqn: Q = INT _{ vol } dQ = INT _vol rho_v· dv]

[eqn: r']에 있는 전라의 미소증가   에 의한 r점의 전계 세기의 미소 증가는

[eqn: DELTA E (r) = DELTAQ over {4pi epsilon_0 LEFT |r - r' RIGHT | ^2 } ·{r - r'} over { LEFT | r -r' RIGHT | }]

[eqn: =][eqn: {rho_v· DELTAQ} over {4pi epsilon_0 LEFT | r - r' RIGHT | ^2} ·{r - r'} over { LEFT | r -r' RIGHT | }]

적분식으로 표시하면

[eqn: E (r)= INT _vol {rho_v (r') dv'} over {4piepsilon_0 LEFT | r -r' RIGHT | ^2} · {r-r'} over {LEFT | r-r' RIGHT |}]

2.4 선전하에 의한 전계

P점의 전계의 세기

[eqn: dE = dQ over {4pi epsilon_0 R^2} a_r = {dQ (r -r')} over {4pi epsilon_0 LEFT | r - r' RIGHT | ^3}]

여기서 r = y·ay = □·a□

r' = z'·az

[eqn: r -r' = rho a_rho - z' a_z]

[eqn: dE = { rho_L dz' (rho a_rho -z' a_rho )} over {4pi epsilon_0 (rho^2 + z'^2 )^{3over2}}]

az 성분은 선전하 상하 대칭으로 상쇄된다.

[eqn: dE_rho = {rho_L · rho dz'} over { 4pi epsilon_0 (rho^2 + z'^2 ) ^{3over2}}]

[eqn: dE_rho = INT _{ INF }^{INF } {rho_L · rho dz'} over { 4pi epsilon_0 (rho^2 + z'^2 ) ^{3over2}}]

[eqn: = rho_L over {4pi epsilon_0} rho · left( 1 over rho^2 · z' over root{rho^2 + z'^2} right)_{-inf} ^{inf} = rho_L over {2pi epsilon_0 rho}]     ∴[eqn: E = rho_L over {2piepsilon_0 rho}a_rho]

임의의 축 (6, 8, z)상에 선전하가 있을 때,

점 P(x, y, z)에서 전계의 세기를 구하면,

R = rp - r0 = (x, y, z) - (6, 8, z)

= (x-6, y-8, 0)

[eqn: a_r = {(x-6, y-8)} over root{(x-6)^2 + (y-8)^2}] ([eqn: a_r]과[eqn: a_rho]는방사상으로 전계가 방사상으로 전계가 나가므로     [eqn: rho =R = root{(x-6)^2 + (y-8)^2}]                            동일한 의미이다)

[eqn: THEREFORE][eqn: E = rho_L over {2pi epsilon_0 rho}·a_r ={rho_L [(x-6)a_x + (y-8)a_y ]} over {2piepsilon_0 [(x-6)^2 + (y-8)^2 ]}]

2.5 판전하에 의한 전계

x=0, y-z 평면에 판 전하[eqn: rho_s][c/m2]가 있다.

[eqn: E = rho_L over {2pi epsilon _0 R}]에서

[eqn: rho_L = rho_s · dy']

[eqn: R = root{x^2 + y^2}]

[eqn: dE_x = rho_L over {2pi epsilon_0 R} ·costheta]

[eqn: = {rho_s ·x · dy'} over {2piepsilon_0 (x^2 +y^2)}]

[eqn: costheta = x over root {x^2 + y^2}]

[eqn: E_x = INT _{-INF }^{INF } dE_x = rho_s over {2piepsilon_0} Int _{-inf}^{inf} {xdy'} over {x^2 +y^2}]    [eqn: = rho_s over {2piepsilon_0} {tan^-1 y'over x} right|_{-inf} ^ {inf}]

[eqn: = rho_s over 2piepsilon_0 [tan^-1 (inf) -tan^-1 (-inf)]]

[eqn: = rho_s over 2piepsilon_0 left[ pi over 2 + pi over 2 right] = rho_s over 2epsilon_0]

[eqn: THEREFORE E = rho_s over 2epsilon_0 a_N]

x=0 에 양의 판전하 □s

x=a 에 음의 판전하 □s 가 있을 경우

1) x>a 인 영역 A 에서의 전계

+□s 에 의한 전계  [eqn: E_+ = rho_s over 2epsilon_0 a_x]

-□s 에 의한 전계  [eqn: E_- = - rho_s over 2epsilon_0 a_x]

전 전계   ET = E+ + E- = 0

2) x<0 인 영역 B 에서의 전계

+□s 에 의한 전계  [eqn: E_+ = rho_s over 2epsilon_0 (-a_x )]

-□s 에 의한 전계  [eqn: E_- = - rho_s over 2epsilon_0 (-a_x )]

전 전계   ET = E+ + E- = 0

3) 0<x<a 인 영역 c에서의 전계

+□s 에 의한 전계  [eqn: E_+ = rho_s over 2epsilon_0 a_x]

-□s 에 의한 전계  [eqn: E_- = - rho_s over 2epsilon_0 (-a_x )]

전 전계 ET = E+ + E- = [eqn: (rho_s / epsilon_0 ) a_x]

2.6 유선 및 전계의 묘사

유선 (stream line) : 흐름선 (→ 표시)

전계의 세기에서는 전력선

유선의 간격이 적으면  밀도가 크고 유선의 간격이 크면 밀도가 작다.

[eqn: dy over dx = E_y over E _x]